El Teorema de Tales

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El Teorema de Tales: 

Figura 1

El Teorema de Tales nos dice que:

Si trazamos una línea paralela a uno de los lados de un triángulo se obtendrá un triángulo semejante al original.

Este teorema se refiere a la semejanza entre triángulos entendiendo que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales.

Una consecuencia o corolario que deriva del Teorema de Tales y que es el que más aplicaciones prácticas tiene es el siguiente:

En dos triángulos semejantes, la razón entre la longitud de sus lados se mantiene constante.

Siguiendo el ejemplo de los triángulos semejantes de la Figura 1 este teorema puede ser expresado de las siguientes maneras:

AB / AC = A'B' / A'C = A''B'' / A''C ... ó AB / BC = A'B' / B'C = A''B'' / B''C ... ó BC / AB = B'C / A'B' = B''C / A''B'' ... ó BC / AC = B'C / A'C = B''C / A''C ... ó AC / AB = A'C / A'B' = A''C / A''B'' ... ó AC / BC = A'C / B'C = A''C / B''C ...

Según se cuenta, Tales utilizó estas relaciones para medir la altura de la pirámide Keops.

Otra consecuencia o corolario derivado del Teorema de Tales es el siguiente:

Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas entonces los segmentos resultantes son proporcionales.

Figura 2

Veámoslo con el siguiente ejemplo de la Figura 2:

Sean las rectas R y S que son cortadas por las rectas paralelas A, B y C. Entonces, los segmentos resultantes a, b, c y d son proporcionales de la siguiente manera:

a / c = b / d

 Aplicaciones del Teorema de Tales:

Una de las aplicaciones más frecuentes del teorema de tales es la división de un segmento en partes iguales. Veámoslo a través de los siguientes pasos. Para ello necesitaremos una escuadra, un cartabón, un lápiz y un papel:

1. Tenemos un segmento dado AB el cual queremos dividirlo en 5 partes iguales
2. Trazamos una línea recta desde el extremo A del segmento
3. A continuación, sobre esta recta añadimos 5 medidas iguales que las podremos dibujar con cualquier elemento, tanto con un compás como con cualquier otro objeto. También podemos utilizar una regla graduada y dibujar cada punto a 1 centímetro de distancia por ejemplo. Para terminar este paso marcamos claramente los 5 puntos sobre la recta.
4. En este paso vamos a empezar uniendo el último punto de la recta con el extremo B del segmento. A continuación trazamos líneas paralelas que pasen por los puntos señalados de la recta en el paso anterior.
5. Por último marcamos los puntos de corte de las líneas paralelas con el segmento AB y ya tenemos el segmento dividido en 5 partes iguales.

 

versión 1 (02/12/2015)