Integrales

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La Integración:

La Integración de una Función consiste en el proceso contrario a la Derivación. Se puede expresar de la siguiente manera:

Sea f(x) una función, entonces F(x) es la función primitiva (o antiderivada) cuya derivada es f(x):

F'(x) = f(x)

La función f(x) tiene infinitas funciones primitivas ya que si añadimos una constante cualquiera a F(x), su derivada seguirá siendo f(x):

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = f(x)

donde C es una constante cualquiera

La Integral Indefinida:

La Integral Indefinida representa las primitivas que puede tener una función.

Sea f(x) una función, su integral indefinida se expresa de la siguiente manera:

∫ f(x) · dx = F(x) + C  "Integral de f de x diferencial de x"

• El símbolo ∫ representa la integración, y es una variante de la letra "S" de "suma"
• f(x) es la función que vamos a integrar
• dx indica la variable de la función que vamos a integrar
• F(x) es la Función Primitiva
• C es la constante de integración

Propiedades de las Integrales:

• Integral de una Suma:

∫ [f(x) + g(x)] · dx = ∫ f(x) · dx + ∫ g(x) · dx

• Integral del Producto de una Constante:

∫ a · f(x) · dx = a · ∫ f(x) · dx

Métodos de Integración:

• Integración por Partes:

Siguen el esquema ∫ u · dv = u · v - ∫ v · du

• Integración por Sustitución o Cambio de Variable:

Se basa en la integral ∫ f'(u) · u' · dx = F(u) + C, sustituyendo la variable por otra nueva (t) para obtener una forma más sencilla de integrar.

Lista de Integrales Inmediatas:

• Integral de 0: ∫ 0 · dx = C (constante)
• Integral de constante: ∫ k · dx = k ·x + C
• Integral de 1 / x: ∫ 1 / x· dx = ln |x| + C
• Integral de una potencia: ∫ xⁿ · dx = [xⁿ⁺¹ / (n+1)] + C 
• Integral de una raíz: ∫ x^1/n · dx = [x^(1/n)+1 / (1/n+1)] + C 
• Integral exponencial: ∫ a^x · dx = a^x / ln a + C
• Integral de e^x: ∫ e^x · dx = e^x + C
• Integral logarítmica: ∫ u' / u · dx = ln |u| + C 
• Integral del seno de x:  ∫ sen x · dx = - cos x + C
• Integral del coseno de x:  ∫ cos x · dx = sen x + C
• Integral de tangente de x: ∫ tg x · dx = - ln |cos x| + C

Ejemplos de Integrales:

Para entender mejor el concepto de integral veamos algunos ejemplos: 

Ejemplo 1: hallar la integral de la función f(x) = 4 

La función primitiva de f(x) es F(x) = 4x, por lo tanto:

 ∫ 4 · dx = 4x + C

Ejemplo 2: hallar la integral de la función f(x) = 2x 

La función primitiva de f(x) es F(x) = x², por lo tanto: 

 ∫ 2x · dx = x² + C 

¿Eres capaz de encontrar más ejemplor? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Ver También:

• Ejercicios de Integrales
• Integral Indefinida
• Propiedades de las Integrales Indefinidas
• Integral de x
• Integral de 1/x
• Integrales Logarítmicas
• Integrales Trigonométricas
• Integral Definida
• Propiedades de las Integrales Definidas

versión 2 (11/04/2018)