El Análisis Matemático

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El Análisis Matemático:

El Análisis Matemático (también llamado Cálculo) es la rama de las matemáticas que trata sobre los límites y teorías relacionadas con los números reales y complejos como son la derivación, integración, análisis de funciones y series infinitas entre otras.

Temas del Análisis Matemático:

A continuación se muestran las principales temas del análisis matemático y el temario asociado:

TEMA 1: LAS FUNCIONES

• Definición de una Función: aplicación que relaciona valores (y) de una magnitud  A con valores (x) de otra B

f: X → Y 
y → f(x)

• Dominio de una Función: conjunto de valores de la variable independiente (x) que tiene imagen f(x)

• Dominio Racional
• Dominio Irracional
• Dominio Logarítmico
• Dominio Exponencial
• Dominio del Seno
• Dominio de Coseno
• Dominio de la Tangente

• Codominio de una Función: conjunto de llegada o valores de Y
• Recorrido de una Función
• Variable Dependiente (y)
• Variable Independiente (x)

Ver también:

• Listado completo de Funciones y sus Ejemplos 

TEMA 2: OPERACIONES CON FUNCIONES

• Composición de Funciones: (g ∘ f) : X → Z

• Suma y Resta de Funciones: (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• Multiplicaciones de Funciones: 
• Por un escalar
• Por otra función: (f · g) (x) = f(x) · g(x)
• Cálculo de la Función Inversa o Recíproca: f^-1: B → A

TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

La representación de una función conlleva el estudio de las siguientes características:

1. Dominio de la Función: conjunto de valores para los que existe función
2. Simetría: indica si la función es simétrica respecto a los ejes de coordenadas
• Simetría Par: simetría respecto del eje vertical → f(x) = f(-x)
• Simetría Impar: simetría respecto del eje de coordenadas → f(-x) = -f(x)
3. Periodicidad: indica si una función se repite para sucesivos valores de x
4. Puntos de Corte con los Ejes
5. Asíntotas: rectas a las que se aproxima de manera continua la gráfica de una función
• Asíntotas Horizontales
• Asíntotas Verticales
• Asíntotas Oblicuas
6. Crecimiento y Decrecimiento: se estudian los intervalos en los que crece o decrece la función
• Función Creciente: x₁ < x₂ →  f(x₁) ≤ f(x₂)
• Función Estrictamente Creciente: x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)
• Función Decreciente: x₁ < x₂ → f(x₁) ≥ f(x₂)
• Función Estrictamente Decreciente: x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂)
7. Máximos y Mínimos
• Máximo de una Función
• Máximo Relativo o Local: existen otros puntos superiores en la función
• Máximo Absoluto: es el punto superior en la función
• Mínimo de una Función
• Mínimo Relativo o Local: existen otros puntos inferiores en la función
• Mínimo Absoluto: es el punto inferior en la función
• Funciones Acotadas: -m ≤ f(x) ≤ m 
8. Concavidad y Convexidad: se estudia si la función posee intervalos cóncavos o convexos
• Función Cóncava: f''(x) < 0
• Función Convexa: f''(x) > 0
9. Puntos de Inflexión: f''(x) = 0, son puntos donde se cambia de cóncavo a convexo o viceversa
10. Representación Gráfica: con los puntos vistos anteriormente ya tenemos los suficientes elementos suficientes para dibujar la gráfica de la función de manera precisa.

TEMA 4: LÍMITES DE FUNCIONES

• Definición de Límite: valor al que se aproxima dicha función cuando x se aproxima a x₀.
• Límite por Sucesiones
• Límites Finitos
• Límites Infinitos
• Límite Lateral
• Límite por la Derecha
• Límite por la Izquierda
• Límite Bilatiral
• Propiedades de los Límites:
• Límite de una Constante: el límite de una constante es la misma constante (lím_x→x0 k = k)
• Límite de una Constante por una Función: es igual a la constante por el límite de la función
• Límite de la Suma de Funciones: es igual a la suma de los límites
• Límite de la Resta de Funciones: es igual a la resta de los límites
• Límite del Producto de Funciones: es igual al producto de los límites
• Límite de la División de Funciones: es igual a la división de los límites
• Límite de Potencia de Funciones: es igual a la potencia de los límites de las funciones por separado
• Límite de la Raíz de una Función: es igual a la raíz n-ésima del límite de la función
• Límite del Logaritmo de una Función: es igual al logaritmo de la función por separado
• Límite de la Función de otra Función: el límite de una función es igual a la función del límite
• Límites de Funciones Racionales
• Límites de Funciones Irracionales
• Límites de Funciones Trigonométricas
• Operaciones y Reglas de los Límites:
• Suma de Infinito más un número: ∞ + k = ∞
• Suma de Infinito más infinito: ∞ + ∞ = ∞
• Resta de Infinito menos infinito: ∞ - ∞ → Indeterminación 
• Producto de Infinito por una constante: ∞ · k = + ∞ (con k > 0)
• Producto de Infinito por infinito: ∞ · ∞ = ∞
• Producto de Infinito por cero: ∞ · 0 → Indeterminación 
• Cociente de cero entre un número constante: 0 / k = 0
• Cociente de un número entre cero: k / 0 = ∞ (si k > 0), k/ 0 = -∞ (si k < 0)
• Cociente de un número entre infinito: k / ∞ = 0
• Cociente de infinito entre un número: ∞ / k = ∞ (si k > 0)
• Cociente de cero entre infinito: 0 / ∞ = 0
• Cociente de infinito entre cero: ∞ / 0 = ∞
• Cociente de cero entre cero: 0 / 0 → Indeterminación
• Cociente de infinito entre infinito: ∞ / ∞ → Indeterminación
• Potencia de un número elevado a cero: k⁰ = 1
• Potencia de cero elevado a cero: 0⁰ = 1
• Potencia de infinito elevado a cero: ∞⁰ → Indeterminación 
• Potencia de cero elevado a un número: 0^k = 0 (si k > 0), 0^k = ∞ (si k < 0)
• Potencia de un número elevado a infinito
• Potencia de cero elevado a infinito: 0^∞ = 0
• Potencia de infinito elevado a infinito: ∞^∞ = ∞
• Potencia de uno elevado a infinito: 1^∞ → Indeterminación

TEMA 5: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

• Continuidad
• Concepto de Continuidad
• Tasa de Variación
• Definición de Continuidad basado en el Límite
• Funciones Continuas
• Función Continua por la Derecha
• Función Continua por la Izquierda
• Propiedades de la Continuidad Local
• Unicidad del Límite
• Teorema del Signo
• Anulación de la Función
• Acotación de la Función
• Continuidad en un Intervalo
• Propiedades de la Continuidad en un Intervalo
• Teorema del Máximo-Mínimo
• Teorema de Weierstrass
• Teorema de Bolzano
• Teorema del Valor Intermedio
• Propiedad de Darboux
• Imagen de un Intervalo Cerrado     
• Función Continua
• Función Discontinua
• Discontinuidades
• Discontinuidad Evitable
• Discontinuidad Inevitable

TEMA 6: LA DERIVACIÓN

• Derivación

• Concepto de Derivada
• Tasa de Variación Media
• Variación de una Función
• Tasa de Variación Instantánea

• Definición de Derivada de una Función
• Derivada de una Función en un Punto
• Representación Gráfica de una Derivada
• Pendiente de la Recta Tangente de la Función
• Normal a la Función en un punto

• Función Derivada
• Notación de Leibniz
• Derivadas Sucesivas
• Derivadas Laterales
• Funciones Derivables 
• Diferencial de una Función
• Reglas de Derivación
• Derivada de la Suma de Funciones: (f + g)´ = f´ + g´
• Derivada de la Resta de Funciones: (f  - g)´ = f´ - g´
• Derivada del Producto de Funciones: (fg)´ = f´g + fg´
• Derivada del Cociente de Funciones: (f/g)´= (f´g + fg´) / g²
• Derivada de Constante por Función: (k· f)' = k · f'
• Derivada de Composición de Funciones
• Regla de la Cadena
• Derivada de Función Inversa
• Derivadas de Funciones Elementales
• Derivada de una Constante
• Derivada de una Variable
• Derivada de Constante por Variable: es igual a la constante
• Derivada de una Potencia
• Derivada de la Inversa de una Potencia
• Derivada de Función Logarítmica
• Derivada de Función Exponencial
• Derivada de un Valor Absoluto
• Derivada de la Raíz Cuadrada
• Derivada de una Raíz n-ésima
• Derivada de Constante elevada a Función
• Derivadas de Funciones Trigonométricas
• Derivada del Seno
• Derivada del Coseno
• Derivada de la Tangente
• Derivada de la Cotangente
• Derivada del Arcoseno
• Derivada del Arcocoseno
• Derivada de la Arcotangente
• Funciones Derivables
• Concepto de Función Derivable
• Derivada en un Punto Máximo o Mínimo
• Teorema de Rolle
• Teorema del Valor Medio o Teorema de Lagrange
• Funciones Constantes
• Teorema de Cauchy
• Teorema de Taylor
• Raíces de una ecuación o función
• Método de Aproximación de Newton
• Límites Indeterminados
• Regla de L´Hôpital
• Cálculo de Máximos y Mínimos de una Función

TEMA 7: LA INTEGRACIÓN

• Primitiva de una Función: F'(x) = f(x)
• Propiedades de las Integrales
• Integral de una Constante
• Integral de la Suma de Funciones
• Integral de la Resta de Funciones
• Integral del Producto de un Número por una Función
• Integral Indefinida
• Métodos de Integración
• Integración por Partes
• Integrales Racionales
• Método de Sustitución
• Principales Integrales
• Integral de 0: la integral de cero es igual a una constante cualquiera (C)
• Integral de x: es igual a x elevado al cuadrado dividido por dos más una constante cualquiera
• Integral de una Potencia: es igual a x elevado a la potencia más uno y divido por la potencia más uno
• Integral de una Raíz: es igual a x elevado a 1/n+1 y dividido por 1/n+1
• Integral de 1/x: es igual al logaritmo neperiano de x
• Integral Logarítmica
• Integral Exponencial
• Integrales Trigonométricas
• Integral del Seno
• Integral del Coseno
• Integral de la Tangente
• Tipos de Integración
• Integración potencial
• Integral de la Función Cero
• Integral de Logaritmos
• Integral Exponencial
• Métodos de Sustitución de Funciones
• Sustitución de la Variable x por t
• Integración de nueva función en t
• Sustitución de la variable t por x
• Método de Integración por Partes
• Método de Transformación de Funciones
• Descomposición del Denominador en Factores
• Descomposición en Fracciones Simples
• Integración de Sumandos
• Integrales Definidas
• Concepto de Integral Definida
• Sumas Superiores e Inferiores
• Intervalos Encajados
• Propiedades de la Integral Definida
• Teorema de la Media
• Función Integral
• Derivada de la Función Integral
• Teorema de Barrow
• Aplicaciones de las Integrales Definidas
• Área de un Recinto
• Volumen de un Cuerpo de Revolución
• Volumen de un Cuerpo por Secciones
• Teorema de Cavalieri

versión 3 (05/04/2018)