Ejemplos de Función Decreciente en un Intervalo

Matemáticas Anál. Matemático Función Decreciente en un Intervalo

Definición de Función Decreciente:

Las Funciones Decrecientes son aquellas funciones en las que al aumentar la variable independiente (x), aumenta la variable dependiente (y). Es decir:

Sean dos puntos x1 y x2 de una función f tales que x1 < x2. Entonces:
La función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 se cumple que f(x1 f(x2) (ver gráfica abajo).
También tenemos que la función f es decreciente si para todo punto x se cumple que f'(x) 0
Función Decreciente en un Intervalo:

Supongamos que ahora tenemos una función con intervalos en los que es creciente y otros en los que es decreciente, por ejemplo la función de la gráfica a continuación:



Para analizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se procede de la siguiente manera:
  • Derivamos la función: f'(x)
  • Obtenemos las raíces de la derivada primera, es decir, resolvemos la ecuación f'(x) = 0
  • Se identifican los intervalos entre los puntos en los que f'(x) = 0, es decir las raíces.
  • Para cada intervalo se toma un valor cualquiera:
    • Si f'(x) >0 entonces el intervalo es creciente
    • Si f'(x) < 0 entonces el intervalo es decreciente

Ejemplos de Intervalos de Crecimiento:
 

Ejemplo 1: Sea la siguiente función f(x) = -x3 / (2x + 1),  calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  •  Observamos que el cociente se hace 0 para x = -1/2 debemos tener en cuenta que ese punto está dentro del dominio de la función

  • En primer lugar derivamos la función: f'(x)
f'(x) =  - [x2· (4x + 3)] / (2x + 1)2
  • Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0
f'(x) = 0
- [x2· (4x + 3)] / (2x + 1)2 = 0
El numerador se hace 0 para: - x2 (4x + 3) = 0
Entonces las Raíces son:
    • x = 0
    • x = -3/4
  • Identificamos los intervalos:
(-∞, -3/4)
(-3/4, -1/2)
(-1/2, 0)
(0, +)

  • Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente:
(-∞, -3/4) → tomamos el valor -1 f'(-1) = - [(-1)2· (4(-1) + 3)] / (2(-1) + 1)2 > 0 → la función f es creciente en este intervalo
(-3/4, -1/2) → tomamos el valor -2/3 f'(-2/3) = - [(-2/3)2· (4(-2/3) + 3)] / (2(-2/3) + 1)2 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo
(-1/2, 0) → tomamos el valor -1/3 f'(-1/3) = - [(-1/3)2· (4(-1/3) + 3)] / (2(-1/3) + 1)2 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo
(0, +) → tomamos el valor 1 f'(1) = - [(1)2· (4(1) + 3)] / (2(1) + 1)2 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo
Por lo tanto, el intervalo de crecimiento es (-∞, -3/4) y los intervalos de decrecimiento son (-3/4, -1/2) (-1/2, 0) (0, +)

Ejemplo 2: Sea la siguiente función f(x) = x3 +2x2 + 1, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  • En primer lugar derivamos la función: f'(x)
f'(x) =  3x2 +4x
  • Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0
f'(x) = 0
3x2 +4x = 0
x (3x + 4) = 0
Raíces:
    • x = 0
    • x = -4/3
  • Identificamos los intervalos:
(-∞, -4/3)
(-4/3, 0)
(0, +)

  • Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente:
(-∞, -4/3) → tomamos el valor -2 f'(-2) = 3(-2)2 +4(-2) = 12 - 8= 4 > 0 → la función f es creciente en este intervalo
(-4/3, 0) → tomamos el valor -1 f'(-1) = 3(-1)2 +4(-1) = 3 - 4= -1 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo
(0, +) → tomamos el valor 1 f'(1) = 3(1)2 +4(1) = 3 + 4= 7 > 0 → la función f es creciente en este intervalo
Por lo tanto, el intervalo de decrecimiento es (-4/3, 0) y los intervalos de crecimiento son (-∞, -4/3) (0, +)
¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Otros Tipos de Funciones:
versión 1 (08/05/2017)