Ejemplos de Función Inversa


Definición de Función Inversa:

Las Funciones Inversas (también llamadas Funciones Recíprocas) son aquellas funciones que realizan la operación inversa convirtiendo los valores de imagen en los valores de dominio. Esto es:

Sea f una función que convierte valores de un conjunto A en valores de un conjunto B:
f: A B
f(a) = b
Entonces su función inversa (si existe) es aquella función f-1 que cumple:
f-1: B A
f-1(b) = a
Nota: es importante no confundir la función inversa con la inversa de una función.

Ejemplos de Funciones Inversas:


Para calcular la función inversa de una función es necesario seguir varios pasos:
  • Escribir la función con x e y (donde f(x) = y)
  • Despejar x en función de y
  • Intercambiar las variables
Veamos algunos ejemplos de cálculo de funciones inversas:
  • f(x) = (2x + 1) / (x - 1)
    • Escribimos la función con x e y:  
y = (2x + 1) / (x - 1)
    • Despejamos x en función de y:
y · (x - 1) = 2x + 1
y·x - y = 2x + 1
y·x - 2x = y + 1
x · (y - 2) = y + 1
x = (y + 1) / (y - 2)
    • Intercambiamos las variables:
f-1(x) = (x + 1) / (x - 2)
Para comprobar que es correcto realizamos la siguiente comprobación:
    • f(2) = (2·2 + 1) / (2 -1) = 5
 Si f(2) es igual a 5 entonces f-1(5) debe ser igual a 2:
    • f-1(5) = (5 + 1) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2
Hemos verificado por lo tanto que la función inversa está bien calculada.
  • f(x) =x2 
    • Escribimos la función con x e y:  
y = x2
    • Despejamos x en función de y:
x = y2
y = ±x
    • Intercambiamos las variables:
f-1(x) = ±√x
¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Propiedades de la Función Inversa:
  • Una función no tiene por qué tener función inversa siempre
  • Si una función es biyectiva entonces tiene función inversa siempre
  • Si existe función inversa, entonces esta es única
  • La gráfica de una función y su función inversa (si existe) son simétricas respecto al eje formado por la función identidad f(x) = x
  • La función inversa de una función inversa es la propia función
  • La composición de una función y su función inversa tiene como resultado la función identidad:
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:
  • Función Real: f: RR
  • Función Compleja: f: CC 
  • Función Escalar: f: RnR 
  • Función Vectorial: f: RnRm
  • Función Identidad
  • Función Inyectiva
  • Función Biyectiva
  • Función Sobreyectiva
  • Función Inversa
  • Función Continua
  • Función Constante
  • Función Compuesta
  • ...
versión 1 (05/05/2017)