Ejemplos de Función Convexa


Definición de Concavidad:

La Concavidad y Convexidad de una Función indica la manera de cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente.

Más concretamente, sea una función f que posea primera y segunda derivada diferentes de cero, es decir:
  • f'(x) 0
  • f''(x) 0
Entonces:
  • Una función f(x) es Cóncava si f''(x) < 0
  • Una función f(x) es Convexa si f''(x) < 0

Propiedades de las Funciones Convexas:

Las funciones cóncavas tienen la propiedad de que la recta que une dos puntos cualquiera queda siempre por debajo de la función:



Ejemplos de Funciones Convexas:

Para entender mejor el concepto de función convexa, veamos algunos ejemplos.
  • Ejemplo 1:
Tomemos la función: f(x) = x3 + 2x2 + 1
 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:
    • f'(x) = 3x2 + 4x
    • f''(x) = 6x + 4
A continuación calculamos el punto (si existe) que divide la segunda derivada en valores positivos y en valores negativos (es decir, el punto de inflexión):
    • f''(x) = 0 6x + 4 = 0x = -4/6 = -2/3 (punto de inflexión)
Los puntos a la izquierda del punto de inflexión toman valores negativos y por la derecha valores positivos. Entonces:
(-∞, -2/3) → la función es cóncava
(-2/3+∞) → la función es convexa
 

  • Ejemplo 2:
Tomemos la función f(x) = x2
 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:
    • f'(x) = 2x
    • f''(x) = 2 > 0












 
Como la segunda derivada de f es positiva, entonces la función es convexa.
El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va aumentando a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es positiva.

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:
  • Función Real: f: RR
  • Función Compleja: f: CC 
  • Función Escalar: f: RnR 
  • Función Vectorial: f: RnRm
  • Función Identidad
  • Función Inyectiva
  • Función Biyectiva
  • Función Sobreyectiva
  • Función Inversa
  • Función Continua
  • Función Constante
  • Función Compuesta
  • ...
versión 1 (16/05/2017)