Ejemplos de Límites


Definición de Límite

Se define el Límite de una Función en un punto x0 al valor al que se aproxima dicha función cuando x se aproxima a x0.

El Límite de una Función es un concepto muy importante dentro del análisis matemático ya que se emplea para el cálculo de la continuidad de una función así como para el estudio de derivabilidad de funciones.

Matemáticamente, el límite de una función se expresa de la siguiente manera (definición de límite de Cauchy:





Es decir:
"La función f(x) tiene como límite a L cuando x tiende a xsi para un número real positivo ε mayor que cero, existe un número positivo δ dependiente de ε tal que para todos los valores de x distintos de que cumplan la condición |x - x0| < δ se cumple que |f(x) - L| < ε.
Nota: si existe el límite de una función en un punto, entonces dicho límite es único (teorema de la unicidad del límite).

Propiedades de los Límites:

Los límites de una función presentan las siguientes propiedades:
El límite de una constante es la misma constante.
límxx0 k k
Ejemplo:
límx→ 1 5 5
El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función.
límxx0 k · f(x) k · límxx0 f(x)
Ejemplo:
límx0 10·(x - 1)/(x + 1) 10 · límx0 (x - 1)/(x + 1) = 10 · (-1/1) = -10
El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones por separado
límxx0 [ f(x) + g(x)] límxx0 f(x)  + límxx0 g(x)  
Ejemplo:
límx→ -2 (x + 2) +  1 / x límx→ -(x + 2) límx→ -2 1/x 1/= -1/2
El límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las funciones por separado
límxx0 [ f(x) - g(x)] límxx0 f(x)  -  límxx0 g(x)  
Ejemplo:
límx→ -2 (+ 2)  -  1 / x  =  límx→ -(x + 2)  -  límx→ -2 1/x  1/= 1/2
El límite de la multiplicación de dos funciones es igual a la multiplicación de los límites de las funciones por separado
límxx0  f(x) · g(xlímxx0 f(x) ·  límxx0 g(x)  
Ejemplo:
límx→ 1 5x  · (x) límx→ 1 5x  ·  límx→ 1 (x) 5 + 2 = 7
El límite de la división de dos funciones es igual a la división de los límites de las funciones por separado 
límxx0  f(x) / g(xlímxx0 f(x)  límxx0 g(x)  
Ejemplo:
límx→ -2 (+ 2) /  (- 1) límx→ -(x + 2)  /  límx→ -2  (- 1) / (-3) 0
El límite de la potencia de dos funciones es igual a la potencia de los límites de las funciones por separado
 


Ejemplo:
límx→ 1 5x(1+1/x) límx→ 1 5x  lím(1+1/x) 5= 25 
El límite de la raíz n-ésima de una función es igual a la raíz n-ésima del límite de la función




Ejemplo:
 límx→ 5 5x límx→ 5 5x  25 5
El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo del límite de la función



Ejemplo:
 límx→ 5 log10 10 log10 límx→ 510x  log10 105 5 
El límite de una función es igual a la función del límite



Ejemplo:
g(x) = 5x
f(x) = x + 1 
límx→ 1 g[f(x)] g (límx→ (+ 1))  g(2) = 5 · 2 = 10

Operaciones y Reglas de los Límites:

Las siguientes operaciones y reglas son útiles para la resolución de límites:
    • ∞ + k =  
    • ∞ - k = 
    • -∞ + k = - 
    • -∞ - k = - 
    • ∞ + ∞ =  
    • ∞ - ∞ → Indeterminación 
    • ∞ · k = + ∞ (con k > 0)
    • ∞ · k = - ∞ (con k < 0)
    • ∞ · ∞ = ∞
    • ∞ · 0 → Indeterminación 
    • 0 / k = 0
    • k / 0 = ∞ (si k > 0)
    • k/ 0 = -∞ (si k < 0)
    • k / ∞ = 0
    • ∞ / k = ∞ (si k > 0)
    • -∞ / k = -∞ (si k > 0)
    • ∞ / k = -∞ (si k < 0)
    • -∞ / k = ∞ (si k > 0)
    • 0 / ∞ = 0
    • ∞ / 0 = 
    • 0 / 0 → Indeterminación
    • ∞ / ∞ → Indeterminación
      • 0 → Indeterminación 
      • 0k = 0 (si k > 0)
      • 0k = ∞ (si k < 0)
      • k = ∞ (si k > 1)
      • k → Indeterminación  (si k = 1)
      • k = 0 (si 0< k < 1)
      • k = 0 (si k = 0)
      • 1∞ → Indeterminación



    Existen dos tipos de límites en función de si la función tiende a dicho límite por la izquierda del punto analizado o si lo hace por la derecha:

    Cuando se estudia una función en un punto para determinar su continuidad es importante tener en cuenta que el límite de una función en un punto puede valer diferente en función de si se aproxima a dicho punto por la izquierda que por la derecha.

    Por ejemplo, sea la función f(x) = 1/x. Para dicha función, en el punto 0, el límite de la función por la izquierda es menos infinito, mientras que si lo hace por la derecha es más infinito:
    Veamos otro ejemplo. Para la siguiente función:

    Vemos que el límite de esta función para el punto x = 1 es 2 cuando lo hace por la izquierda y 1 cuando lo hace por la derecha. Comprobamos de esta manera que existe una discontinuidad de salto finito en dicho punto.

    Cálculo de Límites:

    El cálculo de límites de las funciones se realizará mediante el uso de las propiedades y operaciones de límites según el caso.


    Ver También:

    • Límites Infinitos
    • Límites cuando x tiende a infinito
    • Límites en el Infinito
    • ...
    versión 1 (21/05/2017)