Ejemplos de Función Creciente en un Intervalo

Matemáticas Anál. Matemático Función Creciente en un Intervalo

Definición de Función Creciente:

Las Funciones Crecientes son aquellas funciones en las que al aumentar la variable independiente (x), aumenta la variable dependiente (y). Es decir:

Sean dos puntos x1 y x2 de una función f tales que x1 < x2. Entonces:
La función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 se cumple que f(x1) ≤ f(x2) (ver gráfica abajo).
También tenemos que la función f es creciente si para todo punto x se cumple que f'(x) 0

Función Creciente en un Intervalo:

Supongamos que ahora tenemos una función con intervalos en los que es creciente y otros en los que es decreciente, por ejemplo la función de la gráfica a continuación:



Para analizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se procede de la siguiente manera:
  • Derivamos la función: f'(x)
  • Obtenemos las raíces de la derivada primera, es decir, resolvemos la ecuación f'(x) = 0
  • Se identifican los intervalos entre los puntos en los que f'(x) = 0, es decir las raíces.
  • Para cada intervalo se toma un valor cualquiera:
    • Si f'(x) >0 entonces el intervalo es creciente
    • Si f'(x) < 0 entonces el intervalo es decreciente

Ejemplos de Intervalos de Crecimiento:
 

Ejemplo 1: Sea la siguiente función f(x) = x3 +2x2 + 1, calcular los intervalos de crecimiento.
  • En primer lugar derivamos la función: f'(x)
f'(x) =  3x2 +4x
  • Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0
f'(x) = 0
3x2 +4x = 0
x (3x + 4) = 0
Raíces:
    • x = 0
    • x = -4/3
  • Identificamos los intervalos:
(-∞, -4/3)
(-4/3, 0)
(0, +)

  • Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente:
(-∞, -4/3) → tomamos el valor -2 f'(-2) = 3(-2)2 +4(-2) = 12 - 8= 4 > 0 → la función f es creciente en este intervalo
(-4/3, 0) → tomamos el valor -1 f'(-1) = 3(-1)2 +4(-1) = 3 - 4= -1 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo
(0, +) → tomamos el valor 1 f'(1) = 3(1)2 +4(1) = 3 + 4= 7 > 0 → la función f es creciente en este intervalo
Por lo tanto, los intervalos de crecimiento de la función son los siguientes: (-∞, -4/3) (0, +)
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Otros Tipos de Funciones:
versión 1 (08/05/2017)