Concavidad y Convexidad de una Función

Matemáticas Anál. Matemático Función Concavidad y Convexidad

Concavidad y Convexidad:

La Concavidad y Convexidad de una Función se indica la manera de cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente.

Más concretamente, sea una función f que posea primera y segunda derivada diferentes de cero, es decir:
  • f'(x) 0
  • f''(x) 0
Entonces:
  • Una función f(x) es Cóncava si f''(x) < 0
  • Una función f(x) es Convexa si f''(x) < 0

Representación Gráfica:

Para entender mejor el concepto de concavidad y convexidad de una función, veamos gráficamente cómo se representan.
  • Función Cóncava:
Tomemos la función f(x) = - x2
 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:
    • f'(x) = -2x
    • f''(x) = -2 < 0













Como la segunda derivada de f es negativa, entonces la función es cóncava.
El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va disminuyendo a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es negativa.

  • Función Convexa:
Tomemos la función f(x) = x2
 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:
    • f'(x) = + 2x
    • f''(x) = + 2 > 0














 
Como la segunda derivada de f es positiva, entonces la función es convexa.
El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va aumentando a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es positiva.

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:
  • Función Real: f: RR
  • Función Compleja: f: CC 
  • Función Escalar: f: RnR 
  • Función Vectorial: f: RnRm
  • Función Identidad
  • Función Inyectiva
  • Función Biyectiva
  • Función Sobreyectiva
  • Función Inversa
  • Función Continua
  • Función Constante
  • Función Compuesta
  • ...
versión 1 (16/05/2017)