Teorema de Bolzano

Análisis Matemático → Bolzano

El Teorema de Bolzano:

El Teorema de Bolzano nos dice:

Sea una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Dicha función toma valores de signo contrario en los extremos a y b. Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Nota: el Teorema de Bolzano nos permite determinar si una ecuación tiene una solución real en un determinado intervalo (ver ejemplo 2).

Ejemplos del Teorema de Bolzano:

• Ejemplo 1:

Sea la función f(x) = 4x³ + x² - 2x

Verificar si hay algún punto dentro del intervalo [-1, 1] en los que la función valga 0

 Solución:

1) la función es continua

2) la función toma valor negativo en el extremo izquierdo: f (-1) = -1 < 0

3) la función toma valor positivo en el extremo derecho: f (1) = 3 > 0

4) la función toma valores de signo contrario en ambos extremos

Por lo tanto, podemos afirmar que existe algún punto dentro del intervalo (-1, 1) en el que la función valga 0.

• Ejemplo 2:

Sea la ecuación 4x³ + x² - 2x = 0

Determinar si la ecuación tiene al menos una solución real dentro del intervalo [-1, 1].

Solución:

Como hemos visto en el ejemplo 1, la función f(x) = 4x³ + x² - 2x cumple las condiciones del Teorema de Bolzano en el intervalo [-1, 1], por lo tanto tiene  al menos una solución real.

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

versión 1 (04/04/2017)