Concavidad y Convexidad de una Función

Matemáticas → Anál. Matemático → Función → Concavidad y Convexidad

Concavidad y Convexidad:

La Concavidad y Convexidad de una Función se indica la manera de cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente.

Más concretamente, sea una función f que posea primera y segunda derivada diferentes de cero, es decir:

• ∃ f'(x) ≠ 0
• ∃ f''(x) ≠ 0

Entonces:

• Una función f(x) es Cóncava si f''(x) < 0

• Una función f(x) es Convexa si f''(x) < 0

Representación Gráfica:

Para entender mejor el concepto de concavidad y convexidad de una función, veamos gráficamente cómo se representan.

• Función Cóncava:

Tomemos la función f(x) = - x²

 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:

• f'(x) = -2x
• f''(x) = -2 < 0

Como la segunda derivada de f es negativa, entonces la función es cóncava.

El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va disminuyendo a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es negativa.

• Función Convexa:

Tomemos la función f(x) = x²

 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:

• f'(x) = + 2x
• f''(x) = + 2 > 0

 

Como la segunda derivada de f es positiva, entonces la función es convexa.

El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va aumentando a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es positiva.

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:

• Función Real: f: R → R
• Función Compleja: f: C → C 
• Función Escalar: f: Rⁿ → R 
• Función Vectorial: f: Rⁿ → R^m
• Función Identidad
• Función Inyectiva
• Función Biyectiva
• Función Sobreyectiva
• Función Inversa
• Función Continua
• Función Constante
• Función Compuesta
• ...

versión 1 (16/05/2017)