Métodos de Integración

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Métodos de Integración:

En este apartado vamos a repasar los principales métodos de integración a la hora de resolver ejercicios de integrales:

• Integración por Partes:

Este método de integración se emplea en algunos casos en los que existe un producto de funciones

∫ u · v' · dx = u · v - ∫ u · v' · dx

donde u y v son funciones y u' y v' sus derivadas. Normalmente se toma como u a las funciones logarítmicas, polinómicas y funciones arco trigonométricas. Por otra parte se toma como v' a funciones trigonométricas y exponenciales.

Ejemplo: calcular la siguiente integral

∫ x · cos x · dx  

tomamos u = x y v' = cos x, entonces:

∫ x · cos x · dx = x · sen x - ∫ sen x · 1 · dx = x · sen x + cos x + C

• Integrales Racionales:

Sea la siguiente fracción P(x) / Q(x), puede escribirse de la siguiente manera (nota: el grado de P debe ser menor que el grado de Q):

P(x) / Q(x) = A / (x - a) + B / (x - b) + C / (x - c) + ... 

donde P(x) / Q(x) = A / (x - a) + B / (x - b) + C / (x - c) + ... obteniéndose por factorización

• Método de Sustitución:

El Método de Sustitución o Método de Cambio de Bariable se basa en la integral:

∫ f'(u) · u' · dx = F(u) + C

cambiando de variable, sustituyendo la variable por otra nueva (t) para obtener una forma más sencilla de integrar.

Ejemplo: calcular la siguiente integral

∫ Ln (x²) / x · dx 

realizamos el siguiente cambio de variable: x² = t → x = √t

por lo tanto dx = 1 / 2√t · dt 

realizamos la sustitución y resolvemos la integral:

∫ Ln (x²) / x · dx = ∫ [ Ln (t) / √t ] · (1 / 2√t · dt)  = ∫ [ Ln (t) / 2t ] · dt = 1/2 ·∫ [ Ln (t) / t ] · dt = 1/2 · 1/2 · Ln² t = 1/4 · Ln² t

sustituimos la variable original:

1 / 4 · Ln² t = 1 / 4 · Ln² x² + C

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios. 

Ver También:

• Función Primitiva
• Integral Indefinida
• Propiedades de las integrales
• Tabla de principales integrales
• Integral de una constante
• Integral de una potencia
• Integrales exponenciales
• Integrales logarítmicas
• Integrales trigonométricas
• Integrales racionales
• Método de integración por partes
• Método de integración por sustitución

versión 1 (11/06/2017)