Ejemplos de Diagonalización de Matrices

Matemáticas Álgebra MatrizSubmatriz

Definición de Diagonalización:

La Diagonalización de una Matriz A consiste en expresarla de la manera más sencilla posible a través de una matriz invertible P y otra diagonal D de manera que:
 A = P · D · P-1
La anterior expresión se puede expresar como:
AP = PD
Como la matriz D es diagonal, se cumple que:
A·xi = λiD,  donde xi es la columna i de A (llamado vector propio) y λi es el número en el lugar i de la diagonal de D (llamado autovalor)
Propiedades:
  • Los valores de la diagonal de la matriz diagonal está formada por valores propios de A (autovalores)
  • Dentro de la matriz P, la columna i es el vector propio asociado al autovalor de posición i
  • Las matrices que son reales y simétricas son diagonalizables

Ejemplos de Diagonalización:

Veamos el ejemplo de diagonalización de la matriz:





  • En primer lugar calculamos los autovalores:
|A - λI| = 0
Si calculamos el determinante por la regla de Sarrus, obtenemos que:
(1 - λ)2(λ2 - λ - 2) = 0
Por lo tanto, los autovalor son: λ = 1, λ = -1 y λ = 2
  • En segundo lugar calculamos los vectores propios:
    • Primer vector propio = (1, 0, 0)
    • Segundo vector propio = (1,-4, 2)
    • Tercer vector propio = (5,1,1)
Por lo tanto, la matriz P quedaría como el resultado de los vectores propios:
y la matriz diagonal como resultado de los autovalores:

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Ver También:
  • Matriz Antisimétrica: matriz que es igual a su traspuesta cambiada de signo (A = -AT)
  • Matriz Columna: matriz que está formada solamente por una columna
  • Matriz Cuadrada: matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas
  • Matriz Diagonal: matriz con todos los elementos que no estén en la diagonal principal iguales a 0
  • Matriz Escalar: matriz con todos los elementos de la diagonal principal del mismo valor 
  • Matriz Fila: matriz que está formada solamente por una fila
  • Matriz Idempotente: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la misma matriz
  • Matriz Identidad: matriz cuadrada con valores 1 en la diagonal principal y el resto de valores igual a 0
  • Matriz Inversa: matriz que multiplicada por la matriz origen da la matriz dentidad: A x  A−1 = I
  • Matriz Involutiva: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la matriz unidad o identidad
  • Matriz Nula: es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0 
  • Matriz Ortogonal: matriz que multiplicada por su traspuesta resulta la matriz identidad (A · AT = I)
  • Matriz Rectangular: matriz que tiene el distinto número de filas que de columnas
  • Matriz Regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa
  • Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta (A = AT)
  • Matriz Singular: es aquella matriz que no posee inversa 
  • Matriz Traspuesta: matriz que resulta de intercambiar los valores de las filas por los de las columnas
  • Matriz Triangular Superior: matriz con todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a 0
  • Matriz Triangular Inferior: matriz con todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a 0
versión 1 (21/03/2017)