Permutaciones con Repetición

Probabilidad → Combinatoria Permutaciones con Repetición

Las Permutaciones con Repetición:

En la Combinatoria, se definen las permutaciones con repetición de la siguiente manera:

Las Permutaciones con Repetición son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que: 
  • se toman todos los n elementos de un conjunto
  • se repiten los elementos
    • el primer elemento se repite a veces
    • el segundo elemento se repite b veces
    • el tercer elemento se repite c veces
    • ...
donde a + b + c + ... = n
  • el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes)

Ejemplo: sea el conjunto {A, A, B, C}, ¿cuántos grupos se pueden formar con estas 4 letras en las que A se repite 2 veces, B y C se repiten 1 vez?

Si buscamos los diferente grupos, obtenemos:

{A, A, B, C}, {A, A, C, B}, {A, B, A, C}, {A, B, C, A}, {A, C, A, B}, {A, C, B, A}, {B, C, A, A}, {B, A, C, A}, {B, A, A, C}, {C, B, A, A}, {C, A, B, A}, {C, B, A, A} obtenemos 12 permutaciones

Fórmula:

Para calcular el número de permutaciones con repetición podemos emplear la siguiente fórmula:







donde n es el número de elementos del conjunto y a, b, c... el número de veces que se repiten los diferentes elementos del conjunto.

En el ejemplo anterior = 4, a = 2, b = 1, c = 1 por lo tanto:

PR42,1,1 
= 4! / (2! · 1! · 1!) = 4! / 2
= (4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 1) = 12 → obtenemos el mismo resultado

Ejemplos de Permutaciones con Repetición:

Para entender mejor el concepto de las permutación, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de permutaciones con repetición:

Ejercicio 1: tenemos los siguientes números: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ¿cuántos números diferentes se pueden formar con estos 7 números?

Solución:
  • Primero verificamos que estamos ante una Permutación con Repetición:
    • Se toman todos los elementos del grupo → correcto
    • Se repiten elementos (hay un número que se repite tres veces y otro dos) → correcto
    • El orden importa (no es lo mismo 1112234 que 4322111) → correcto
  • Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación con repetición, calculamos la cantidad de números diferentes:
n = 7 cifras números
PR73,2,1,1 7! / (3! · 2! · 1· 1!) = (7·6·5·4·3·2·1) / (3·2·1·2·1·1·1) = 420 permutaciones
¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Ver También:
  • Variaciones
  • Variaciones con Repetición
  • Permutaciones
  • Permutaciones con Repetición
  • Permutaciones Circulares
  • Combinaciones
  • Combinaciones con Repetición
  • Número Combinatorio
  • Número Factorial
  • Binomio de Newton
Otros Conceptos Estadísticos:
  • Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
  • Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
  • Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
  • Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
  • Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
  • Moda (Mo) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
  • Mediana (Me): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
  • Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
  • Varianza (σ2): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
  • Percentiles (Pn): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
  • Deciles (Dn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
  • Cuartiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
  • Quintiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
  • Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
  • Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (xi) una probabilidad (pi)
  • Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor a un suceso
  • Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
  • Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
  • Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
  • ...
versión 1 (16/06/2017)