Permutaciones con Repetición

Probabilidad → Combinatoria → Permutaciones con Repetición

Las Permutaciones con Repetición:

En la Combinatoria, se definen las permutaciones con repetición de la siguiente manera:

Las Permutaciones con Repetición son formas de agrupar elementos de un conjunto en las que: 

• se toman todos los n elementos de un conjunto
• se repiten los elementos
• el primer elemento se repite a veces
• el segundo elemento se repite b veces
• el tercer elemento se repite c veces
• ...

donde a + b + c + ... = n

• el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes)

Ejemplo: sea el conjunto {A, A, B, C}, ¿cuántos grupos se pueden formar con estas 4 letras en las que A se repite 2 veces, B y C se repiten 1 vez?

Si buscamos los diferente grupos, obtenemos:

{A, A, B, C}, {A, A, C, B}, {A, B, A, C}, {A, B, C, A}, {A, C, A, B}, {A, C, B, A}, {B, C, A, A}, {B, A, C, A}, {B, A, A, C}, {C, B, A, A}, {C, A, B, A}, {C, B, A, A} → obtenemos 12 permutaciones

Fórmula:

Para calcular el número de permutaciones con repetición podemos emplear la siguiente fórmula:

donde n es el número de elementos del conjunto y a, b, c... el número de veces que se repiten los diferentes elementos del conjunto.

En el ejemplo anterior n = 4, a = 2, b = 1, c = 1 por lo tanto:

PR₄^2,1,1 = 4! / (2! · 1! · 1!) = 4! / 2! = (4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 1) = 12 → obtenemos el mismo resultado

Ejemplos de Permutaciones con Repetición:

Para entender mejor el concepto de las permutación, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de permutaciones con repetición:

Ejercicio 1: tenemos los siguientes números: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ¿cuántos números diferentes se pueden formar con estos 7 números?

Solución:

• Primero verificamos que estamos ante una Permutación con Repetición:

• Se toman todos los elementos del grupo → correcto

• Se repiten elementos (hay un número que se repite tres veces y otro dos) → correcto

• El orden importa (no es lo mismo 1112234 que 4322111) → correcto

• Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación con repetición, calculamos la cantidad de números diferentes:

n = 7 cifras números

PR₇^3,2,1,1 = 7! / (3! · 2! · 1! · 1!) = (7·6·5·4·3·2·1) / (3·2·1·2·1·1·1) = = 420 permutaciones

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Ver También:

• Variaciones
• Variaciones con Repetición
• Permutaciones
• Permutaciones con Repetición
• Permutaciones Circulares
• Combinaciones
• Combinaciones con Repetición
• Número Combinatorio
• Número Factorial
• Binomio de Newton

Otros Conceptos Estadísticos:

• Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
• Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
• Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
• Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
• Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
• Moda (M_o) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
• Mediana (M_e): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
• Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
• Varianza (σ²): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
• Percentiles (P_n): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
• Deciles (D_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
• Cuartiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
• Quintiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
• Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
• Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (x_i) una probabilidad (p_i)
• Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor ≤ a un suceso
• Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
• Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
• Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
• ...

versión 1 (16/06/2017)