Ejemplos de Probabilidad Condicional

Matemáticas  EstadísticaProbabilidad Condicional

Probabilidad Condicional:

La Probabilidad Condicional (o Probabilidad Condicionada) es la probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que también ocurre otro suceso B.

La Probabilidad Condicional se expresa mediante la fórmula:





Nota: la probabilidad de B debe ser mayor de cero.

Sucesos dependientes e independientes:
  • Sucesos independientesson aquellos en los que P(A | B) = P(A)
  • Sucesos dependientes: son aquellos en los que P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ≠ p(A) 

Ejemplos de Probabilidad Condicional:

Veamos unos ejemplos para entender mejor el concepto de probabilidad condicional:

  • Ejemplo 1: Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga 3 si se sabe de antemano que ha salido un número impar:
    • Tenemos que calcular: P(3 | saliendo impar
    • P(3|impar) = P(3 ∩ impar) / P(impar)
      • P(impar) = 3/6 = 1/2
      • P(3 ∩ impar) = probabilidad de que salga 3 y también impar = 1/6
    • P(3|impar) = (1/6) / (1/2) = 1/3

  • Ejemplo 2: Supongamos que:
    • Una determinada enfermedad afecta al 1% de las personas
    • La probabilidad de que al analizar a una persona sana salga erróneamente positivo (enferma) es el 1% 
    • La probabilidad de que al analizar una persona enferma salga erróneamente negativa (sana) es el 1% 
Calcular la probabilidad de que una persona esté realmente enferma si da positivo en un análisis.
    • P(enfermo) = 1% = 0,01
    • P(sano) = 1 - P(enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99
    • P(positivo | sano) = 1% = 0,01
    • P(negativo | sano) 1 - P(positivo | sano) = 1 - 0,01 = 0,99
    • P(negativo | enfermo) = 1% = 0,01
    • P(positivo | enfermo) = 1 - P(negativo | enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99
Necesitamos calcular P(enfermo | positivo):
    • P(enfermo | positivo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(positivo)

P(enfermo ∩ positivo) =  P(positivo ∩ enfermo) por lo que lo podemos obtener a través de:
    • P(positivo | enfermo) = 0,01 = P(positivo ∩ enfermo) / P(enfermo)
    • P(positivo ∩ enfermo) = 0,01 · P(enfermo) = 0,01 · 0,01 = 0,0001
Por otra parte, podemos obtener  P(positivo) a partir de:
    • P(positivo) = P(sano ∩ positivo+ P(enfermo ∩ positivo)
Para despejar P(positivo) necesitamos conocer P(sano ∩ positivo) y P(enfermo ∩ positivo) que obtenemos de:
    • P(positivo | sano) = P(sano ∩ positivo) / P(sano) 
    • P(sano ∩ positivo) = P(positivo | sano) · P(sano) = 0,01 · 0,99 = 0.0099
    • P(positivo | enfermo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(enfermo) 
    • P(enfermo ∩ positivo) = P(positivo | enfermo) · P(enfermo) = 0,99 · 0,01 = 0.0099
    • P(positivo) = P(sano ∩ positivo) + P(enfermo ∩ positivo) = 0,0099 + 0,0099 = 0,0198
Por lo tanto:
    • P(enfermo | positivo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(positivo) = 0,0099 / 0,0198 = 0,5
Puede resultar paradógico, pero en este caso, la probabilidad de que alguien esté realmente enfermo si se le diagnostica positivo es solo el 50% 
 
¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Otros Conceptos Estadísticos:
  • Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
  • Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
  • Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
  • Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
  • Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
  • Moda (Mo) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
  • Mediana (Me): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
  • Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
  • Varianza (σ2): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
  • Percentiles (Pn): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
  • Deciles (Dn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
  • Cuartiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
  • Quintiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
  • Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
  • Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (xi) una probabilidad (pi)
  • Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor a un suceso
  • Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
  • Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
  • Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
  • ...
versión 1 (16/02/2017)