Ejemplos de Probabilidad Condicional

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Probabilidad Condicional:

La Probabilidad Condicional (o Probabilidad Condicionada) es la probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que también ocurre otro suceso B.

La Probabilidad Condicional se expresa mediante la fórmula:

Nota: la probabilidad de B debe ser mayor de cero.

Sucesos dependientes e independientes:

• Sucesos independientes:  son aquellos en los que P(A | B) = P(A)
• Sucesos dependientes: son aquellos en los que P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ≠ p(A) 

Ejemplos de Probabilidad Condicional:

Veamos unos ejemplos para entender mejor el concepto de probabilidad condicional:

• Ejemplo 1: Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga 3 si se sabe de antemano que ha salido un número impar:
• Tenemos que calcular: P(3 | saliendo impar) 
• P(3|impar) = P(3 ∩ impar) / P(impar)
• P(impar) = 3/6 = 1/2
• P(3 ∩ impar) = probabilidad de que salga 3 y también impar = 1/6

• P(3|impar) = (1/6) / (1/2) = 1/3

• Ejemplo 2: Supongamos que:
• Una determinada enfermedad afecta al 1% de las personas
• La probabilidad de que al analizar a una persona sana salga erróneamente positivo (enferma) es el 1% 
• La probabilidad de que al analizar una persona enferma salga erróneamente negativa (sana) es el 1% 

Calcular la probabilidad de que una persona esté realmente enferma si da positivo en un análisis.

• P(enfermo) = 1% = 0,01
• P(sano) = 1 - P(enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99
• P(positivo | sano) = 1% = 0,01
• P(negativo | sano) 1 - P(positivo | sano) = 1 - 0,01 = 0,99
• P(negativo | enfermo) = 1% = 0,01
• P(positivo | enfermo) = 1 - P(negativo | enfermo) = 1 - 0,01 = 0,99

Necesitamos calcular P(enfermo | positivo):

• P(enfermo | positivo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(positivo)

P(enfermo ∩ positivo) =  P(positivo ∩ enfermo) por lo que lo podemos obtener a través de:

• P(positivo | enfermo) = 0,01 = P(positivo ∩ enfermo) / P(enfermo)
• P(positivo ∩ enfermo) = 0,01 · P(enfermo) = 0,01 · 0,01 = 0,0001

Por otra parte, podemos obtener  P(positivo) a partir de:

• P(positivo) = P(sano ∩ positivo) + P(enfermo ∩ positivo)

Para despejar P(positivo) necesitamos conocer P(sano ∩ positivo) y P(enfermo ∩ positivo) que obtenemos de:

• P(positivo | sano) = P(sano ∩ positivo) / P(sano) 
• P(sano ∩ positivo) = P(positivo | sano) · P(sano) = 0,01 · 0,99 = 0.0099

• P(positivo | enfermo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(enfermo) 
• P(enfermo ∩ positivo) = P(positivo | enfermo) · P(enfermo) = 0,99 · 0,01 = 0.0099

• P(positivo) = P(sano ∩ positivo) + P(enfermo ∩ positivo) = 0,0099 + 0,0099 = 0,0198
  

Por lo tanto:

• P(enfermo | positivo) = P(enfermo ∩ positivo) / P(positivo) = 0,0099 / 0,0198 = 0,5

Puede resultar paradógico, pero en este caso, la probabilidad de que alguien esté realmente enfermo si se le diagnostica positivo es solo el 50% 

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Otros Conceptos Estadísticos:

• Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
• Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
• Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
• Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
• Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
• Moda (M_o) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
• Mediana (M_e): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
• Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
• Varianza (σ²): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
• Percentiles (P_n): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
• Deciles (D_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
• Cuartiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
• Quintiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
• Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
• Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (x_i) una probabilidad (p_i)
• Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor ≤ a un suceso
• Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
• Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
• Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
• ...

versión 1 (16/02/2017)