Ejemplos de Teorema de Bayes

Matemáticas  EstadísticaTeorema de Bayes

Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes (Thomas Bayes, 1763) expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B, en términos de B dado A, mediante la fórmula:


 

donde: 
  • P(Ai) son probabilidades de cada Ai (también llamadas "a priori")
  • P(B | Ai)  son las probabilidades de B dado cada Ai
  • P(Ai | B) son las probabilidades de cada Ai dado B (también llamadas "a posteriori")
Nota: el Teorema de Bayes se cumple bajo las siguientes condiciones:
  • Los sucesos {A1, A2, ... , An} son sucesos mutuamente excluentes y exclusivos
  • P(Ai) ≠ 0, para cualquier i
  • La unión de todos los sucesos A1, A2, ... , An da como resultado todo el espacio muestral de A
  • B es otro suceso del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai)
Ejemplos de Teorema de Bayes:

Veamos algunos ejemplos de cálculo de probabilidades condicionales en la que se utiliza el Teorema de Bayes:
  • Ejemplo 1: un concursante debe elegir abrir 1 puerta de las 3 que están cerradas. Detrás de una de ellas hay un automóvil y en las otras 2 hay cabras. Antes de descubrir qué hay detrás de la puerta elegida, el moderador (que sabe lo que hay detrás) abre una de las otras 2 puertas en las que hay una cabra. A continuación el moderador le da la opción de cambiar su elección. ¿Qué debe hacer el concursante?
    • Sea A = {1, 2, 3} la puerta aleatoria en la que está el Automóvil
    • Sea C = {1, 2, 3} la puerta aleatoria que elige el Concursante
    • Sea M = {automóvil, cabra} las opciones que hay detrás de la puerta que abre el Moderador
    • La probabilidad P(M=cabra) es igual a 1 ya que el moderador va a buscar la puerta en la que está la cabra
    • De la misma forma P(M=automóvil) es igual a 0
    • La probabilidad de que el concursante consiga el automóvil si no cambia de puerta es P(acertar sin cambiar) = P(A=C) =
= P(A=C | M=cabra) · P(M=cabra) + P(A=C | M=automóvil) · P(M=automóvil) = (1/3) · 1 + P(A=C | M=automóvil) · 0 = 1/3
    • La probabilidad de conseguir el automóvil si no cambia es 1/3
    • La probabilidad de conseguir el automóvil cambiando es 1-1/3 = 2/3
    • Por lo tanto le combiene siempre cambiar

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Otros Conceptos Estadísticos:
  • Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
  • Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
  • Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
  • Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
  • Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
  • Moda (Mo) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
  • Mediana (Me): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
  • Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
  • Varianza (σ2): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
  • Percentiles (Pn): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
  • Deciles (Dn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
  • Cuartiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
  • Quintiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
  • Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
  • Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (xi) una probabilidad (pi)
  • Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor a un suceso
  • Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
  • Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
  • Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
  • ...
versión 1 (14/02/2017)