Variaciones con Repetición

Probabilidad → Combinatoria Variaciones con Repetición

Las Variaciones:

En la Combinatoria, se definen las variaciones con repetición de la siguiente manera:

Las Variaciones con Repetición son formas de agrupar elementos en las que: 
  • solo se toman algunos elementos de un conjunto
  • se pueden repetir los elementos
  • el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes)
Nota: no se deben confundir las variaciones con repetición de las variaciones ordinarias sin repetición.

Ejemplo: sea el conjunto {A, B, C}, ¿cuántos grupos de dos letras se pueden formar?

Si buscamos los diferente grupos, obtenemos:

{AA}, {A, B}, {A, C}, {B, A}, {BB}, {B, C}, {C, A}, {C, B}{CC} obtenemos 9 variaciones

Fórmula:

Para calcular el número de variaciones con repetición podemos emplear la siguiente fórmula:




donde m es el número de elementos del conjunto y n el número de elementos tomados

En el ejemplo anterior m= 3 y n=2, por lo tanto:

V32 = 32 = → obtenemos el mismo resultado

Ejemplos de Variaciones con Repetición:

Para entender mejor el concepto de variaciones con repetición, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de variaciones:


Ejercicio 1: Sabiendo que existen 27 letras en el abecedario, ¿cuántas formas diferentes hay de escribir grupos de tres letras (pudiendo repetirlas)? Por ejemplo JEJ, AYT, BBC...

Solución:
  • Primero verificamos que estamos ante una Variación con Repetición:
    • Solo se toman solo algunos elementos del grupo (3 letras de las 27 del abecedario) → correcto
    • Se pueden repetir elementos (podemos formar grupos como BBC, TTT, etc.) → correcto

    • El orden importa (no es lo mismo ABC que CBA por ejemplo) → correcto
  • Después de comprobar que efectivamente se trata de una variación con repetición, calculamos el número de grupos diferentes que se pueden formar:
27 letras disponibles
3 letras en cada grupo
V273 = 273=  19.683 variaciones
    Ejercicio 2: ¿cuántas formas diferentes hay de escribir grupos de cuatro números (pudiendo repetirlos)? Por ejemplo 0157, 9945, 8118, 4505, 0026...

    Solución:
    • Estamos ante una Variación con Repetición igual que en el ejercicio anterior, solo que en vez de letras se trata de números.
    • Calculamos el número de grupos diferentes que se pueden formar:
    10 números disponibles
    = 4 números en cada grupo
    V104 = 104=  10.000 variaciones
      Ejercicio 3: en un determinado país, las matrículas de los vehículos tienen el siguiente formato:
      0000 - XXX
      donde las 4 primeras cifras son números del 0 al 9 y los tres caracteres de la izquierdas pueden ser cada una de las 27 letras del abecedario (se pueden repetir). Por ejemplo:
      8322 - JEJ
      ¿Cuántas matrículas diferentes se pueden formar?

      Solución:
      • Se trata de la combinación de los resultados de los dos ejercicios anteriores, por lo tanto:
      Variaciones de las 4 cifras: 10.000 
      Variaciones de las 3 letras: 19.683 
      Variaciones de matrículas = 10.000 · 19.683 = 196.830.000 variaciones
      ¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

      Ver También:
      • Variaciones
      • Variaciones con Repetición
      • Permutaciones
      • Permutaciones con Repetición
      • Permutaciones Circulares
      • Combinaciones
      • Combinaciones con Repetición
      • Número Combinatorio
      • Número Factorial
      • Binomio de Newton
      Otros Conceptos Estadísticos:
      • Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
      • Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
      • Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
      • Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
      • Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
      • Moda (Mo) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
      • Mediana (Me): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
      • Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
      • Varianza (σ2): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
      • Percentiles (Pn): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
      • Deciles (Dn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
      • Cuartiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
      • Quintiles (Qn): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
      • Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
      • Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (xi) una probabilidad (pi)
      • Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor a un suceso
      • Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
      • Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
      • Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
      • ...
      versión 1 (15/06/2017)

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